아래와 같이 해보시기 바랍니다..
우선 MediaPlayer1의 Display라는 프로퍼티를..
Panel1으로 지정하시고..
Panel1은 폼의 (0, 0) 위치에 두세요..

From 류..

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procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
Var
   DRect : TRect;
   Bitmap : TBitmap;
begin
  MediaPlayer1.Pause;
  Bitmap:= TBitmap.Create;
  Bitmap.Height:= Panel1.Height;
  Bitmap.Width:= Panel1.Width;
  DRect:= Rect(0, 0, Bitmap.Width, Bitmap.Height);
  Bitmap.Canvas.CopyRect(DRect, Canvas, DRect);
  Bitmap.SaveToFile('C:\a.bmp');
  Bitmap.Free;
end;