"백그라운드" 라고 말씀하신 것이 구체적으로 어떤 상태를 의미하는지 설명해 주세요.

윈도 서비스로 등록되어 돌아가는 상태인지,
단순히 폼이 감추어진 채로 돌아가는 상태인지,
콘솔창을 제가 주로 쓰는 "Screen" 을 이용해 띄운 상태인지...

윈도도 없고 콘솔창도 할당받지 않았다면, 시스템이 어플에 종료 이벤트를 알려줄 방법은 아무것도 없습니다.
만약 이 경우라면, 표시되지 않는 숨은 윈도를 하나 할당하세요.
델마당 자료실에서 "Power of Delphi" 를 내려받아 97년 11월호 "Handle이 필요하십니까?" 라는 글을 참고하시면 도움이 되실 거에요.