델파이 6.0 미만에 있는 볼랜드 소켓 사용 중이신가 보군요.
저는 7.0 사용 중이라 설치가 안되서 기억이 안나는데
OnError 인가 하는 이벤트가 있을 겁니다.

거기서 ErrorCode:= 0; 를 삽입하시면
대부분의 에러가 발생하지 않습니다.

Try
  ClientSocket1.Open;
Except
  // 메시지 표시
End;

도 한 번 시도 해보세요.

란티아 님이 쓰신 글 :
: 안녕 하세요..
:
: 서버와 클라이언트 프로그램을 짜는 중에..
:
: 모르는 부분이 있어서 이렇게 글을 올립니다.
:
: 서버에 클라이언트가 연결할때, 만일에 서버가 동작을 하지 않는 상태에서
:
: 클라이언트가 접속을 시도했을 경우, 바로 에러가 발생을 하더라구요..
:
: 그래서, 클라이언트가 접속을 시도하다가 실패했을 경우 에 대해서 처리를 할려구
:
: 하는데 어떻게 해야하는지에 대해서 알고 싶어서 이렇게 글을 올립니다.
:
: ClientSocket1.Open;
:
: 이렇게 클라이언트가 서버에게 접속을 할경우, 실패했을 때에 대한 처리에 대해서
:
: 알고 싶어서 ... 자체적인 메시지를 띄우고 싶어서 그럽니다..
:
: 그럼 .. .좋은 하루 보내세요.