우선 파라메타를 넘기려면  SQL 문장에서 대치할 문자열을
   미리 알려 줘야 하는데,  대치할 문자 앞에 공백없이  ':'
   을 붙여야 합니다.
   WHERE field이름 = :findstr   <- 이렇게 말이죠..
   이렇게 써서 런타임 에러가 없는데,
   내용이 하나도 안 나타나면 찾을 문자가 없어서 그렇습니다.

   제가 볼땐 찾을 문자가 문자열 내에 있는 것을 원하시는 것 같은데,
   그럴땐,

       SELECT * FROM table이름 WHERE field이름 LIKE :findstr

   이렇게  SQL 문장을 작성하고

       Query1.ParamByName('findstr').AsString := Edit.Text;
       Query1.Open;

   이라고 하면 될것입니다. 한 번 해보세요..
   대신 Edit1.Text 의 내용은 

        %찾을문자열%     <- 양쪽에 '%'를 붙여보세요..
   그 외에는 다른 문제가 없는 것 같네요,,
   그럼..